Рівняння Ейлера

«Як сонет Шекспіра охоплює саму суть любові, або картина показує внутрішню красу людини, рівняння Ейлера проникає в самі глибини існування»

Математик із Стенфорда Кейт Девлін (Keith Devlin) написав ці слова про рівняння в есе 2002 року, яке називалося «Найпрекрасніше рівняння». Але чому від формули Ейлера перехоплює подих? І що вона взагалі означає?

По-перше, літера «e» являє собою ірраціональне число (з нескінченною кількістю цифр), яке починається з 2.718281828459045 ... Відкрите в контексті неперервно нараховуваємого складного відсотка, воно описує темпи експоненціального зростання від колоній популяцій комах до радіоактивного розпаду. У математиці число володіє рядом несподіваних властивостей, наприклад, воно дорівнює сумі зворотних факторіалів від нуля до нескінченності. У кінцевому рахунку константа e окупувала математику, взявшись начебто нізвідки, але опинилась у великому числі важливих рівнянь.

Далі i являє собою так звану уявну одиницю - квадратний корінь з мінус 1. «Так звану», бо в реальності не існує числа, яке, будучи помноженим саме на себе, в результаті дало негативне число (тому негативні числа не мають дійсних квадратних коренів). Але в математиці існує велика кількість ситуацій, коли доводиться витягати квадратний корінь з від'ємного числа. Число i використовується як своєрідна позначка того місця, де така операція була проведена.

Пі - відношення довжини кола до її діаметра, одна з улюблених і найцікавіших констант в математиці. Подібно e, вона з'явилася у великій кількості математичних і фізичних формул наче з нізвідки.

Константа e, зведена в ступінь уявна одиниця, помножена на Пі дорівнює мінус одному. З рівняння Ейлера випливає, що додавання до цього одиниці дає нуль.